🌳 堆排序算法可视化

通过动态交互深入理解堆排序的每一步操作

1. 构建最大堆

2. 交换堆顶

3. Heapify

4. 完成

正在比较

正在交换

下沉调整

已排序

📊 当前数组

堆大小

已排序数

当前步骤

总步骤

🎮 控制面板

⚡ 动画速度

慢快

💡 准备就绪

点击「播放」按钮开始演示堆排序算法，或点击「前进」逐步观看每个操作步骤。

📖 堆排序核心规则与公式

🏗️ 堆的定义

堆是一种完全二叉树，分为：

• 大顶堆：父节点 ≥ 左/右子节点
• 小顶堆：父节点 ≤ 左/右子节点

📐 索引关系公式

数组下标 i 对应的树节点：

• 父节点：(i - 1) / 2
• 左子节点：2 * i + 1
• 右子节点：2 * i + 2

⬇️ Heapify 下沉规则

将当前节点与子节点比较：

1. 找出当前节点、左子节点、右子节点中的最大值
2. 若最大值不是当前节点，交换并继续下沉
3. 重复直到叶子节点或无需交换

🔄 排序流程

堆排序分两阶段：

1. 构建最大堆：从最后一个非叶子节点向上
2. 逐个提取：交换堆顶与末尾，调整堆

⏱️ 复杂度分析

堆排序是原地排序：

• 时间复杂度：O(n log n)
• 空间复杂度：O(1)
• 不稳定排序

🌳 完全二叉树性质

完全二叉树可以用数组紧凑存储：

• 叶子节点数：⌊n/2⌋ 到 n
• 最后一个非叶子节点：⌊n/2⌋ - 1
• 树高度：⌊log₂n⌋ + 1

🎯 关键公式速查

父节点索引

parent = (i - 1) / 2

左子节点索引

left = 2 * i + 1

右子节点索引

right = 2 * i + 2

最后一个非叶子

⌊n/2⌋ - 1

💻 堆排序代码实现

Python 实现

"""
堆排序算法实现
时间复杂度: O(n log n)
空间复杂度: O(1)
不稳定排序
"""

def heapify(arr, n, i):
    """
    对索引 i 处的节点进行下沉调整，维护最大堆性质
    
    参数:
        arr: 待排序数组
        n:   堆的大小
        i:   当前节点索引
    """
    largest = i         # 假设当前节点是最大值
    left = 2 * i + 1    # 左子节点索引
    right = 2 * i + 2   # 右子节点索引

    # 比较左子节点
    if left < n and arr[left] > arr[largest]:
        largest = left

    # 比较右子节点
    if right < n and arr[right] > arr[largest]:
        largest = right

    # 若最大值不是当前节点，交换并继续下沉
    if largest != i:
        arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
        heapify(arr, n, largest)


def build_max_heap(arr):
    """
    将无序数组构建成最大堆
    从最后一个非叶子节点开始，自底向上调整
    """
    n = len(arr)
    # 最后一个非叶子节点索引: n//2 - 1
    for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, n, i)


def heap_sort(arr):
    """
    堆排序主函数
    
    步骤:
        1. 构建最大堆
        2. 交换堆顶和末尾元素
        3. 堆大小减1，对堆顶进行heapify
        4. 重复2-3直到堆大小为1
    """
    n = len(arr)
    
    # 第一步: 构建最大堆
    build_max_heap(arr)
    print(f"构建完成的最大堆: {arr}")
    
    # 第二步: 逐个提取元素
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        # 交换堆顶(最大值)和当前堆末尾
        arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
        print(f"交换 {arr[i]} 到位置 {i}，剩余堆: {arr[:i]}")
        
        # 对新的堆顶进行下沉调整(堆大小为i)
        heapify(arr, i, 0)
    
    return arr


# 测试代码
if __name__ == "__main__":
    arr = [7, 2, 9, 4, 1, 6, 3, 8]
    print(f"原始数组: {arr}")
    result = heap_sort(arr)
    print(f"排序结果: {result}")

JavaScript 实现

/**
 * 堆排序算法实现
 * 时间复杂度: O(n log n)
 * 空间复杂度: O(1)
 * 不稳定排序
 */

/**
 * 对索引 i 处的节点进行下沉调整，维护最大堆性质
 * @param {number[]} arr - 待排序数组
 * @param {number} n - 堆的大小
 * @param {number} i - 当前节点索引
 */
function heapify(arr, n, i) {
    let largest = i;           // 假设当前节点是最大值
    const left = 2 * i + 1;   // 左子节点索引
    const right = 2 * i + 2;  // 右子节点索引

    // 比较左子节点
    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }

    // 比较右子节点
    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }

    // 若最大值不是当前节点，交换并继续下沉
    if (largest !== i) {
        [arr[i], arr[largest]] = [arr[largest], arr[i]];
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

/**
 * 将无序数组构建成最大堆
 * 从最后一个非叶子节点开始，自底向上调整
 */
function buildMaxHeap(arr) {
    const n = arr.length;
    // 最后一个非叶子节点索引: Math.floor(n/2) - 1
    for (let i = Math.floor(n / 2) - 1; i >= 0; i--) {
        heapify(arr, n, i);
    }
}

/**
 * 堆排序主函数
 * @param {number[]} arr - 待排序数组
 * @returns {number[]} - 排序后的数组
 */
function heapSort(arr) {
    const n = arr.length;
    
    // 第一步: 构建最大堆
    buildMaxHeap(arr);
    
    // 第二步: 逐个提取元素
    for (let i = n - 1; i > 0; i--) {
        // 交换堆顶(最大值)和当前堆末尾
        [arr[0], arr[i]] = [arr[i], arr[0]];
        
        // 对新的堆顶进行下沉调整(堆大小为i)
        heapify(arr, i, 0);
    }
    
    return arr;
}

// 测试代码
const arr = [7, 2, 9, 4, 1, 6, 3, 8];
console.log('原始数组:', arr);
console.log('排序结果:', heapSort(arr));

Java 实现

/**
 * 堆排序算法实现
 * 时间复杂度: O(n log n)
 * 空间复杂度: O(1)
 * 不稳定排序
 */
public class HeapSort {

    /**
     * 对索引 i 处的节点进行下沉调整，维护最大堆性质
     * @param arr 待排序数组
     * @param n   堆的大小
     * @param i   当前节点索引
     */
    private static void heapify(int[] arr, int n, int i) {
        int largest = i;              // 假设当前节点是最大值
        int left = 2 * i + 1;         // 左子节点索引
        int right = 2 * i + 2;        // 右子节点索引

        // 比较左子节点
        if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
            largest = left;
        }

        // 比较右子节点
        if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
            largest = right;
        }

        // 若最大值不是当前节点，交换并继续下沉
        if (largest != i) {
            int swap = arr[i];
            arr[i] = arr[largest];
            arr[largest] = swap;
            
            heapify(arr, n, largest);
        }
    }

    /**
     * 将无序数组构建成最大堆
     * 从最后一个非叶子节点开始，自底向上调整
     */
    private static void buildMaxHeap(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        // 最后一个非叶子节点索引: n/2 - 1
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            heapify(arr, n, i);
        }
    }

    /**
     * 堆排序主函数
     * @param arr 待排序数组
     */
    public static void heapSort(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        
        // 第一步: 构建最大堆
        buildMaxHeap(arr);
        
        // 第二步: 逐个提取元素
        for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
            // 交换堆顶(最大值)和当前堆末尾
            int temp = arr[0];
            arr[0] = arr[i];
            arr[i] = temp;
            
            // 对新的堆顶进行下沉调整(堆大小为i)
            heapify(arr, i, 0);
        }
    }

    // 测试代码
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {7, 2, 9, 4, 1, 6, 3, 8};
        System.out.print("原始数组: ");
        for (int num : arr) System.out.print(num + " ");
        
        heapSort(arr);
        
        System.out.print("\n排序结果: ");
        for (int num : arr) System.out.print(num + " ");
    }
}

C++ 实现

/**
 * 堆排序算法实现
 * 时间复杂度: O(n log n)
 * 空间复杂度: O(1)
 * 不稳定排序
 */
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

/**
 * 对索引 i 处的节点进行下沉调整，维护最大堆性质
 * @param arr 待排序数组
 * @param n   堆的大小
 * @param i   当前节点索引
 */
void heapify(vector<int>& arr, int n, int i) {
    int largest = i;              // 假设当前节点是最大值
    int left = 2 * i + 1;         // 左子节点索引
    int right = 2 * i + 2;        // 右子节点索引

    // 比较左子节点
    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }

    // 比较右子节点
    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }

    // 若最大值不是当前节点，交换并继续下沉
    if (largest != i) {
        swap(arr[i], arr[largest]);
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

/**
 * 将无序数组构建成最大堆
 * 从最后一个非叶子节点开始，自底向上调整
 */
void buildMaxHeap(vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    // 最后一个非叶子节点索引: n/2 - 1
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        heapify(arr, n, i);
    }
}

/**
 * 堆排序主函数
 * @param arr 待排序数组
 */
void heapSort(vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    
    // 第一步: 构建最大堆
    buildMaxHeap(arr);
    
    // 第二步: 逐个提取元素
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        // 交换堆顶(最大值)和当前堆末尾
        swap(arr[0], arr[i]);
        
        // 对新的堆顶进行下沉调整(堆大小为i)
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

// 测试代码
int main() {
    vector<int> arr = {7, 2, 9, 4, 1, 6, 3, 8};
    
    cout << "原始数组: ";
    for (int num : arr) cout << num << " ";
    
    heapSort(arr);
    
    cout << endl << "排序结果: ";
    for (int num : arr) cout << num << " ";
    
    return 0;
}