第1章 · 函数 · 极限 · 连续

设数集 D，若对 D 中每个 x，按法则 f 都有唯一确定的 y 与之对应，则称 y=f(x) 为定义在 D 上的函数。D 叫定义域。

单调递增：x₁

🔑 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇（与幂函奇偶性一致）。

$\lim_{x\to a}f(x)=L$：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当 $0<|x-a|<\delta$ 时 $|f(x)-L|<\varepsilon$。数列极限类似（用 N 代替 δ）。

左极限 $f(a^-)=\lim_{x\to a^-}f(x)$，右极限 $f(a^+)=\lim_{x\to a^+}f(x)$。$\lim_{x\to a}f(x)$ 存在 ⇔ 左右极限都存在且相等。

唯一性；局部有界性；保号性：若 $\lim f(x)=A>0$，则存在去心邻域使 f(x)>0。

$\alpha(x)$ 为无穷小 ⇔ $\lim\alpha=0$；无穷大 ⇔ $|\cdot|\to\infty$。若 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=0$ 记 $\alpha=o(\beta)$；$\lim\frac{\alpha}{\beta}=c\ne0$ 则同阶；c=1 则等价 $\alpha\sim\beta$。

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。推广：$\lim\frac{\sin\Box}{\Box}=1$（□→0）。

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e$；等价 $\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$。推广 $\lim(1+\Box)^{1/\Box}=e$（□→0）。

$u^v=e^{v\ln u}$；当 $u\to1,v\to\infty$，用 $\ln u\sim u-1$ 得 $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$。

若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 且 $\lim g=\lim h=L$，则 $\lim f=L$。

单调增且有上界 ⇔ 收敛；单调减且有下界 ⇔ 收敛。常用于递推数列 $x_{n+1}=f(x_n)$。

$x\to0$ 时： $\sin x\sim x,\ \tan x\sim x,\ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\ e^x-1\sim x,\ \ln(1+x)\sim x,\ (1+x)^a-1\sim ax,\ a^x-1\sim x\ln a,\ \arcsin x\sim x$。

乘除因子可整体替换；加减中替换需谨慎（可能抵消导致 0 阶变化）。等价替换常与泰勒展开配合更稳。

$f$ 在 $x_0$ 连续 ⇔ $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，即①有定义②极限存在③相等。

第一类：左右极限都存在。可去间断点（极限存在≠函数值或没定义）；跳跃间断点（左右不等）。第二类：至少一侧不存在（无穷型、振荡型）。

若 f 在 [a,b] 连续：①有界；②最值定理（取最大最小）；③介值定理（取遍最值间一切值）；④零点定理：f(a)f(b)<0 ⇒ ∃ξ∈(a,b), f(ξ)=0。