定义与判定 核心
💡 秒懂：一组向量“相关”=其中有人是多余的（能被其余拼出来）；“无关”=谁也替代不了谁，必须全体到场。
重要性质 必背
💡 秒懂：向量个数 > 维数必相关（人比座位多必有人挤）；含零向量必相关；部分相关则整体相关。
① 向量个数 > 维数 ⇒ 必相关；② 含零向量 ⇒ 相关；③ 部分相关 ⇒ 整体相关（反之无关）；④ 无关组加一向量可能变相关。
🔑 “多必相关、零必相关、部分相关则整体相关”三句话。
例题：判断 α₁=(1,2), α₂=(2,4) 的相关性。
判定
思路：成比例。
α₂=2α₁，存在非零系数 2·α₁−α₂=0。
故线性相关。
答案：线性相关
例题：α₁=(1,0,0), α₂=(0,1,0), α₃=(0,0,1) 是否无关？
标准基
思路：只有零组合得零。
k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=(k₁,k₂,k₃)=0 ⇒ k₁=k₂=k₃=0。
故线性无关（是三维标准基）。
答案：线性无关
3极大线性无关组与向量组的秩 重点
从一组（可能相关）向量里挑出“最核心、彼此独立、又能代表全体”的子集。
极大无关组 定义
💡 秒懂：从团队里选出最少的关键人物，他们彼此独立，且加上任何其他人都会“冗余”（能被他们表示）。
向量组的一个部分组，自身线性无关，且再加入原组中任一向量就相关，则称极大线性无关组。其向量个数 = 向量组的秩。
🔑 极大无关组个数 = 向量组秩 = 矩阵的秩（把向量作列排成矩阵）。
等价向量组 概念
💡 秒懂：两组向量能互相表示，就是“同一批信息的两套说法”，它们秩相同。
若两组向量可互相线性表示，则称等价；等价向量组秩相等。向量组的秩 = 列秩 = 行秩 = 矩阵秩。
⚠️ 矩阵秩与向量组秩统一，是衔接矩阵与向量的桥梁。
例题：求 α₁=(1,0), α₂=(0,1), α₃=(1,1) 的极大无关组与秩。
极大无关组
思路：前两无关，第三是前两之和。
α₁,α₂ 不成比例 ⇒ 线性无关；α₃=α₁+α₂ 可被表示。
故 {α₁,α₂} 是极大无关组，秩=2。
答案：极大无关组 {α₁,α₂}，秩为 2
✓本章互动小测
做完点“交卷”看解析，错题回上面知识点再巩固。