第6章 · 二次型 · 考研数学（二）

✅ 范围已核实：本章内容严格限定在考研数学（二）大纲（科目代码 302）范围内，已剔除数二不考内容。满分 150，高数约占 80%，线代约占 20%。

📌 本章在数二中的定位：二次型的矩阵表示、标准形（配方法/正交变换法）、规范形、惯性定理、正定二次型的判定（顺序主子式全正/特征值全正/定义）。

🗺️本章知识地图

二次型是“变量的二次齐次多项式”，本质是一个对称矩阵。本章把它化成标准形（只看平方项和），并判断它是否“恒正”（正定）。

二次型的矩阵表示标准形与规范形正定二次型

1二次型的矩阵表示重点

任何二次型都可唯一对应一个实对称矩阵，这是后续化标准形与判正定的基础。

矩阵表示定义

💡 秒懂：二次型 f(x)=Σaᵢⱼxᵢxⱼ 写成 xᵀAx，其中 A 是对称矩阵（交叉项系数平分到对称位置）。

$f(x_1,\dots,x_n)=x^TAx$，A 对称：$a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 xᵢxⱼ 系数的一半。秩 r(A) 称二次型的秩。

🔑 交叉项系数一分为二填到对称的 (i,j) 与 (j,i)。

合同变换概念

💡 秒懂：用可逆变换 x=Cy 把二次型改写，对应 A→CᵀAC，称为合同——保惯性、保正定性。

$x=Cy$（$C$ 可逆）下 $f=x^TAx=y^T(C^TAC)y$，记 $B=C^TAC$，A 与 B 合同。合同 ⇔ 有相同的正、负惯性指数。

⚠️ 正交变换是特殊的合同变换（C 正交）。

例题：写出 f=x₁²+2x₁x₂+3x₂² 的矩阵 A。

矩阵表示

思路：平方填对角，交叉平分。

a₁₁=1,a₂₂=3；x₁x₂ 系数 2 ⇒ a₁₂=a₂₁=1。

A=[1 1;1 3]。

答案：[1 1;1 3]

2标准形与规范形核心重点

把二次型通过配方或正交变换化为只含平方项，便于分析性质。

配方法方法

💡 秒懂：像配完全平方公式，逐个变量凑平方，剩下的再凑，直到只剩平方项。

对含 x₁ 的项配方，消去 x₁ 的交叉项，递归处理剩余变量，得到 $f=d_1y_1^2+\cdots$（可逆线性变换）。

🔑 配方口诀：提平方、消交叉、再对剩余变量重复。

正交变换法方法

💡 秒懂：把对应的对称矩阵正交对角化，变换后系数就是特征值——最规范。

对实对称 A 正交对角化：$Q^TAQ=\Lambda$，令 x=Qy，则 $f=y^T\Lambda y=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$。

⚠️ 正交变换保长度，几何意义清晰。

规范形与惯性定理定理

💡 秒懂：无论怎么化，正平方项个数（正惯性指数 p）和负平方项个数（q）是“ invariant”的，由矩阵本身决定。

规范形：$f=z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2$。惯性定理：p、q 在任意可逆变换下不变。秩=p+q。

🔑 惯性定理：正、负平方项个数与化法无关。

例题：用配方化 f=x₁²+2x₁x₂+x₂²。

配方法

思路：直接是完全平方。

f=(x₁+x₂)²。

令 y₁=x₁+x₂，则标准形 f=y₁²（p=1,q=0）。

答案：f=y₁²

3正定二次型核心重点

正定（对任意非零 x 都有 f(x)>0）的判定是数二常考，三种判据要会互证。

正定的判定核心

💡 秒懂：正定=碗形（开口向上，只在原点触底）；三种等价说法：定义恒正、特征值全正、顺序主子式全正。

A 正定 ⇔ 对任意 x≠0 有 xᵀAx>0 ⇔ A 的特征值全 >0 ⇔ 各阶顺序主子式全 >0。负定则奇数阶主子式<0、偶数阶>0。

🔑 正定三判据：定义、特征值全正、顺序主子式全正（记‘全正’最实用）。

应用与联系重点

💡 秒懂：正定常用于判断极值（多元函数 Hessian 正定⇒极小值）与稳定性。

二次型正定性与对称矩阵正定性一致；与特征值、合同标准形紧密相连。

⚠️ 数二常考：给矩阵判正定，或已知正定反求参数范围。

例题：判断 A=[2 1;1 2] 是否正定。

顺序主子式

思路：算主子式。

一阶主子式 2>0；二阶 |A|=4−1=3>0。

顺序主子式全正 ⇒ A 正定。

答案：正定

例题：a 取何值使 A=[a 1;1 2] 正定？

参数

思路：顺序主子式均正。

一阶 a>0；二阶 |A|=2a−1>0 ⇒ a>1/2。

综上 a>1/2 时正定。

答案：a>1/2

✓本章互动小测

做完点“交卷”看解析，错题回上面知识点再巩固。

🗺️本章知识地图

1二次型的矩阵表示 重点

矩阵表示 定义

合同变换 概念

2标准形与规范形 核心重点

配方法 方法

正交变换法 方法

规范形与惯性定理 定理

3正定二次型 核心重点

正定的判定 核心

应用与联系 重点