考研数学（二）· 考试大纲与知识点框架

科目代码 302 ｜ 满分 150 分 ｜ 考试时间 180 分钟 ｜ 依据 2021 年大纲改革后稳定结构 + 2026 备考资料整理

一、试卷结构 题型 · 分值

10×5
单项选择题 · 共 50 分
6×5
填空题 · 共 30 分
6 题
解答/证明题 · 共 70 分
150
总分 · 3 小时
客观题（选+填）共 80 分占 53%，解答题 70 分占 47%。解答题强调完整步骤，中值定理证明、积分计算、线代综合大题都在这一块，是拉开差距的关键。

二、内容占比 高数 vs 线代

高等数学 ≈ 78%~80% · 约 117~120 分
线代 ≈ 20%~22% · 约 30~33 分
数学二 不考概率论与数理统计，复习总量比数一小很多，但高数考得更深、计算量更大——「重基础、强计算」是核心策略。建议复习时间按 8 : 2 分配。

三、高等数学 · 知识框架 约 80% 分值

第1章函数、极限、连续基础必拿
  • 函数：概念、有界/单调/奇偶/周期性；复合、反函数、初等函数
  • 极限：数列极限与函数极限定义、性质（唯一性/有界性/保号性）、左右极限
  • 两个重要极限：lim sinx/x=1，lim(1+1/x)^x=e
  • 极限准则：夹逼准则、单调有界准则
  • 无穷小与无穷大：概念、阶的比较、等价无穷小替换（熟背 e^x-1、ln(1+x)、sinx、1-cosx 等常见等价）
  • 连续：连续定义、间断点分类（第一类可去/跳跃，第二类无穷/振荡）、闭区间连续函数性质（有界性、最值、介值、零点定理）
极限计算是整张卷子的地基，每年必考（选择/填空/大题开头）。等价无穷小 + 洛必达 + 泰勒展开三件套必须形成肌肉记忆。
第2章一元函数微分学核心重点
  • 导数与微分：定义、几何/物理意义、可导与连续的关系、微分
  • 导数计算：基本公式、四则运算、复合（链导）、隐函数、参数方程、对数求导、高阶导数
  • 中值定理：罗尔、拉格朗日、柯西；泰勒公式（麦克劳林常见展开熟记）
  • 洛必达法则（0/0、∞/∞ 型及化简）
  • 导数应用：单调性、极值与最值、凹凸性与拐点、渐近线（水平/垂直/斜）、函数作图、曲率与曲率半径（了解级）
中值定理证明题是数二经典难点，常出现在解答题中；单调性/极值/凹凸性几乎年年考，与函数作图、不等式证明结合紧密。
第3章一元函数积分学核心重点
  • 不定积分：原函数概念、基本积分表、换元积分法、分部积分法、有理函数积分（部分分式）、三角函数积分
  • 定积分：定义（黎曼和）、性质、变上限积分函数及其导数、牛顿-莱布尼茨公式、换元与分部、对称区间与奇偶对称
  • 反常积分：无穷区间型、无界函数型、敛散性判别
  • 定积分应用：平面图形面积、旋转体体积、平行截面面积体、弧长、简单物理应用（功、压力，质心/引力了解）
积分计算贯穿整张卷，与微分方程、二重积分、物理应用高度综合。变上限积分求导是高频选择/填空考点。
第4章多元函数微分学（二元为主）重点
  • 多元函数：概念、二元函数极限与连续、偏导数与全微分（概念、可微与偏导关系、全微分计算）
  • 偏导计算：复合函数链导、隐函数偏导（一个方程 / 方程组约束）
  • 多元函数极值：无条件极值（驻点+充分条件）、条件极值（拉格朗日乘数法）、最大值最小值应用
注：数二 不考 方向导数、梯度、空间解析几何。复合/隐函数求偏导 + 拉格朗日乘数法是常考大题点。
第5章多元函数积分学（仅二重积分）重点
  • 二重积分：概念与性质、直角坐标系计算、极坐标系计算
  • 技巧：交换积分次序、对称性化简（奇偶对称、轮换对称）
  • 应用：平面区域面积、体积、质量、质心（几何/物理应用）
数二特有重点：三重积分、曲线积分、曲面积分 全部不考。二重积分是多元部分的唯一积分内容，极坐标计算必须熟练。
第6章常微分方程重点
  • 基本概念：阶、解、通解、特解、初值问题
  • 一阶方程：可分离变量、齐次方程、一阶线性（公式法，重点）
  • 可降阶高阶：y⁽ⁿ⁾=f(x)；y''=f(x,y')；y''=f(y,y')
  • 二阶常系数线性：齐次通解结构、非齐次特解（待定系数法：f(x)=e^αxP_m(x) 或 e^αx[P_l cosβx+Q_n sinβx]）、通解
  • 应用：几何与物理建模（如斜率/弧长/运动方程）
数二 不考 欧拉方程、差分方程、微分方程组。一阶线性 + 二阶常系数线性（齐次/非齐次）是必会解法，常与积分结合出综合大题。

四、线性代数 · 知识框架 约 20% 分值

第1章行列式基础
  • 概念：n 阶行列式、逆序数、行列式按行/列展开
  • 性质与计算：行列式性质、三角化、范德蒙德行列式
  • 克莱姆法则（了解，主要用于理论）
第2章矩阵重点
  • 运算：加减乘、数乘、转置、方阵幂
  • 逆矩阵：定义、求法（初等变换法、伴随矩阵法）、伴随矩阵
  • 矩阵方程：AX=B、XA=B 型求解
  • 初等变换与初等矩阵、矩阵的秩、分块矩阵
矩阵求逆、秩的计算是线代大题的底层操作，务必熟练到不出错。
第3章向量重点
  • 线性组合与线性表示
  • 线性相关与无关：判定、性质
  • 极大线性无关组、向量组的秩、等价向量组、向量组秩与矩阵秩的关系
数二 不考 向量空间（基、维数、坐标、过渡矩阵）、正交基与施密特正交化。线性相关/无关的判定是高频选择填空题。
第4章线性方程组核心重点
  • 齐次方程组：解空间、基础解系、通解、解的结构
  • 非齐次方程组：解的存在性（秩判定：r(A)=r(A,b)）、通解（特解+导出组基础解系）、解的结构
  • 含参数方程组的讨论（重点，常出大题）
第5章矩阵的特征值和特征向量核心重点
  • 特征值与特征向量：定义、计算（|A-λE|=0）、性质
  • 相似矩阵：概念、性质、矩阵可对角化条件
  • 实对称矩阵：特征值实数、特征向量正交、必可正交对角化（正交变换）
特征值/特征向量几乎每年一道大题，常与二次型、矩阵对角化串联。实对称矩阵的正交对角化要会算。
第6章二次型重点
  • 二次型：矩阵表示、标准形（配方法 / 正交变换法）、规范形、惯性定理
  • 正定二次型：判定（顺序主子式全正 / 特征值全正 / 定义）

五、明确不考的内容 别做无用功

六、结合实际复习建议 怎么用这份大纲

阶段重心目标
基础期高数第1–3章 + 线代第1–2章概念定理过一遍，计算不出错，建立知识树
强化期高数第2–6章 + 线代第3–6章题型分类刷透，中值定理/积分/线代大题专项突破
冲刺期近 15 年真题 + 模拟限时套卷，查漏补缺，规范解答步骤
权重建议：高数投入约 80% 时间（一元微积分是命脉），线代约 20%（章节关联强，一道大题常串矩阵+方程组+特征值）。教材推荐：同济《高等数学》第七版 + 同济《工程数学·线性代数》第六版，对照大纲删去不考章节即可。
核心章节：一元微积分 核心章节：线性方程组 核心章节：特征值与特征向量 每年必考：极限计算 每年必考：二重积分 难点：中值定理证明 难点：含参方程组讨论
内容依据：教育部教育考试院《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》（2021 年改革后稳定版）及 2026 年主流备考资料交叉核对整理。
具体题量/分值以当年研招网公布的大纲原文为准；适用专业以报考院校招生简章为准。
本大纲仅作复习框架参考，建议搭配大纲原文与教材使用。