高中数学常用公式手册 · 按知识点速查

1

集合与常用逻辑用语

5 组公式

＋

集合运算

交集\( A \cap B = \{ x \mid x \in A\ \text{且}\ x \in B \} \)

并集\( A \cup B = \{ x \mid x \in A\ \text{或}\ x \in B \} \)

补集\( \complement_U A = \{ x \mid x \in U\ \text{且}\ x \notin A \} \)

子集元素个数

子集数\( \text{含 } n \text{ 个元素的集合有 } 2^n \text{ 个子集},\ 2^n-1 \text{ 个真子集} \)

充要条件

关系\( A \Rightarrow B:\ A\ \text{充分},\ B\ \text{必要};\quad A \Leftrightarrow B:\ \text{充要} \)

2

函数

8 组公式

＋

二次函数

顶点\( y = ax^2 + bx + c,\ \text{顶点 } \left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right) \)

判别式\( \Delta = b^2 - 4ac \)

指数与对数

指数运算\( a^m \cdot a^n = a^{m+n};\quad (a^m)^n = a^{mn};\quad (ab)^n = a^n b^n \)

对数运算\( \log_a(MN) = \log_a M + \log_a N;\quad \log_a\dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N;\quad \log_a M^n = n\log_a M \)

换底\( \log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a};\quad a^{\log_a N} = N \)

函数性质

奇偶性\( \text{偶}:\ f(-x)=f(x);\quad \text{奇}:\ f(-x)=-f(x) \)

周期性\( f(x+T)=f(x),\ T\ \text{为周期} \)

零点

存在定理\( f(a)\cdot f(b) < 0 \ \Rightarrow\ (a,b)\ \text{内至少一零点} \)

3

导数

6 组公式

＋

基本公式

定义\( f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \)

常·幂\( C' = 0;\quad (x^a)' = a x^{a-1};\quad (x)' = 1 \)

指数·对数\( (e^x)' = e^x;\quad (a^x)' = a^x \ln a;\quad (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \)

运算法则

四则\( (u \pm v)' = u' \pm v';\quad (uv)' = u'v + uv';\quad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \)

复合\( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

几何

切线\( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \)

💡 \( f'(x)>0 \) 增，\( f'(x)<0 \) 减；\( f'(x)=0 \) 且变号 \(\Rightarrow\) 极值点。

4

三角函数

9 组公式

＋

同角关系

平方\( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)

商\( \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \)

诱导公式

口诀奇变偶不变，符号看象限

和差公式

正弦\( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \)

余弦\( \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \)

正切\( \tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} \)

二倍角

正弦\( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \)

余弦\( \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha \)

降幂\( \sin^2\alpha = \dfrac{1-\cos 2\alpha}{2};\quad \cos^2\alpha = \dfrac{1+\cos 2\alpha}{2} \)

辅助角

合一\( a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi) \)

图象变换

周期\( y = A\sin(\omega x + \varphi),\ T = \dfrac{2\pi}{|\omega|} \)

💡 二倍角余弦三个形式要会互相转化，降幂公式是解三角题的常客。

5

解三角形

4 组公式

＋

正弦定理

正弦\( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R \)

余弦定理

余弦\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \)

求角\( \cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \)

面积

面积\( S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ac\sin B \)

6

数列

10 组公式

＋

通项与前 n 项和

关系\( a_n = S_n - S_{n-1}\ (n\ge 2);\quad a_1 = S_1 \)

等差数列

通项\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

求和\( S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} = na_1 + \dfrac{n(n-1)d}{2} \)

中项\( 2b = a + c \)

性质\( m+n=p+q \ \Rightarrow\ a_m + a_n = a_p + a_q \)

等比数列

通项\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

求和\( S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\ (q\neq 1) \)

中项\( b^2 = ac \)

性质\( m+n=p+q \ \Rightarrow\ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q \)

裂项

裂项\( \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \)

7

不等式

5 组公式

＋

一元二次

解集\( ax^2+bx+c > 0:\ \text{大于取两边，小于取中间} \)

基本不等式

均值\( \dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\ (a,b>0) \)

平方均值\( \dfrac{a^2+b^2}{2} \ge \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \ge ab \)

绝对值

三角不等\( |a| - |b| \le |a \pm b| \le |a| + |b| \)

💡 基本不等式三字诀：一正、二定、三相等。

8

立体几何

8 组公式

＋

体积

柱\( V = Sh \)

锥\( V = \dfrac{1}{3}Sh \)

台\( V = \dfrac{1}{3}h(S + \sqrt{SS'} + S') \)

球\( V = \dfrac{4}{3}\pi R^3;\quad S = 4\pi R^2 \)

空间角

线线角\( \cos\theta = \dfrac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a|\,|\vec b|} \)

线面角\( \sin\theta = \dfrac{|\vec a \cdot \vec n|}{|\vec a|\,|\vec n|}\ (\vec n\ \text{为面法向量}) \)

二面角\( \cos\theta = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|} \)

距离

点线距\( d = \dfrac{|\vec a \times \vec b|}{|\vec a|}\ (\text{向量叉乘}) \)

9

解析几何

12 组公式

＋

直线

斜率\( k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)

点斜式\( y - y_0 = k(x - x_0) \)

平行·垂直\( \text{平行 } k_1=k_2;\quad \text{垂直 } k_1 k_2 = -1 \)

距离\( \text{点}(x_0,y_0)\text{到直线 } Ax+By+C=0:\ d = \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)

圆

标准方程\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)

一般方程\( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\ (D^2+E^2-4F>0) \)

椭圆

方程\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a>b>0);\quad c^2 = a^2 - b^2 \)

离心率\( e = \dfrac{c}{a} < 1 \)

双曲线

方程\( \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1;\quad c^2 = a^2 + b^2 \)

离心率\( e = \dfrac{c}{a} > 1;\quad \text{渐近线 } y = \pm\dfrac{b}{a}x \)

抛物线

方程\( y^2 = 2px\ (p>0);\quad \text{焦点}\left(\dfrac{p}{2},0\right),\ \text{准线 } x = -\dfrac{p}{2} \)

弦长

弦长\( |AB| = \sqrt{1+k^2}\,|x_1 - x_2| \)

💡 圆锥曲线大题固定套路：设直线 → 联立 → Δ>0 → 韦达定理 → 代入目标。

10

平面向量

6 组公式

＋

基本量

模\( |\vec a| = \sqrt{x^2+y^2} \)

数量积\( \vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2 \)

位置关系

平行\( x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0 \)

垂直\( x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 \)

夹角\( \cos\theta = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,\sqrt{x_2^2+y_2^2}} \)

投影\( \vec a\ \text{在}\ \vec b\ \text{上投影} = |\vec a|\cos\theta = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|} \)

11

复数

4 组公式

＋

形式\( z = a + bi\ (i^2 = -1),\ a\ \text{实部},\ b\ \text{虚部} \)

模\( |z| = \sqrt{a^2+b^2} \)

共轭\( \bar z = a - bi;\quad z \cdot \bar z = |z|^2 \)

除法\( \dfrac{a+bi}{c+di} = \dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} \)

12

概率与统计

10 组公式

＋

排列组合

排列\( A_n^m = \dfrac{n!}{(n-m)!} \)

组合\( C_n^m = \dfrac{n!}{m!(n-m)!};\quad C_n^m = C_n^{n-m} \)

概率

古典\( P(A) = \dfrac{m}{n} \)

对立\( P(\bar A) = 1 - P(A) \)

独立\( P(AB) = P(A)P(B) \)

条件\( P(B \mid A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)} \)

分布

二项\( X \sim B(n,p):\ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k};\quad E = np,\ D = np(1-p) \)

期望方差\( E(aX+b) = aE(X)+b;\quad D(aX+b) = a^2 D(X) \)

统计

均值\( \bar x = \dfrac{x_1+\dots+x_n}{n} \)

方差\( s^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2;\quad s = \sqrt{s^2} \)