把三年数学揉成一张「地图」——有层次、有结构、看得懂、记得住
👉 越靠前的概念越「基础」，后面几乎处处用到它。函数和向量是两条贯穿始终的「主干道」。
元素、子集、交并补，韦恩图是好朋友
∈ ∉ ⊆ ∪ ∩ ∁「小范围推大范围」：\(A \Rightarrow B\)，则 A 是 B 的充分条件
\(B \Rightarrow A\)，则 A 是 B 的必要条件
\(A \Leftrightarrow B\)，互为充要，等价
函数三要素：定义域、对应法则、值域
图象「一直往上走」是增，反之为减
\(f(-x)=f(x)\) 偶（对称 y 轴）；\(=-f(x)\) 奇（对称原点）
\(f(x+T)=f(x)\)，T 是最短正周期
\(y=kx+b\)，直线，斜率 k 定快慢
\(y=ax^2+bx+c\)，抛物线，顶点是灵魂
\(y=a^x\) 与 \(y=\log_a x\) 互为反函数，图象关于 y=x 对称
\(y=x^a\)，一族随 a 变化的曲线
\(f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)，瞬时变化率
\(f'(x_0)\) 就是曲线在 \(x_0\) 处切线的斜率
\(f'(x)>0\) 增；\(f'(x)<0\) 减
导数变号处取极值；闭区间端点比一比取最值
\(180^\circ=\pi\) 弧度，弧长 \(l=|\alpha|\cdot r\)
面积 \(S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha|r^2\)
\(\sin\alpha=y,\ \cos\alpha=x,\ \tan\alpha=y/x\)
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1;\ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
「奇变偶不变，符号看象限」
\(\sin(\alpha\pm\beta)\)、\(\cos(\alpha\pm\beta)\)、\(\tan(\alpha\pm\beta)\)
\(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha;\ \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi)\)
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)
\(S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B\)
第 n 项长啥样，\(a_n=f(n)\)
\(S_n=a_1+a_2+\dots+a_n;\ a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\ge 2)\)
\(a_{n+1}-a_n=d\)（常数）
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)
\(2b=a+c\)（等差中项）
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（常数，\(q\neq 0\)）
\(a_n=a_1 q^{n-1}\)
\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\ (q\neq 1)\)
\(b^2=ac\)（等比中项）
等差×等比 型，乘 q 后相减
\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
奇数项、偶数项分开算
\(a>b,\ c>d \Rightarrow a+c>b+d\)
\(a>b,\ c>0 \Rightarrow ac>bc\)
乘负数要「翻号」！
先求方程根，再「大于取两边，小于取中间」
\(\Delta=b^2-4ac\) 决定根的个数
\(a,b>0\) 时，\(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)
和定积最大，积定和最小（一正二定三相等）
一堆不等式围成的一块区域
目标函数 z 的极值在可行域顶点处取得
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球
正视图、侧视图、俯视图还原立体
柱 \(V=Sh\)；锥 \(V=\frac{1}{3}Sh\)；球 \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
线面平行、面面平行的判定与性质
线面垂直、面面垂直的判定与性质
不同在任一平面内的两条直线
找三条两两垂直的直线当坐标轴
用向量 \(\vec n\) 算二面角、线面角
把几何证明变成代数计算，稳！
点斜式 \(y-y_0=k(x-x_0)\)、斜截式 \(y=kx+b\)
平行 k 等；垂直 \(k_1 k_2=-1\)
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)；点到直线距离 d
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\ a>b>0\)，离心率 \(e=\frac{c}{a}<1\)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，离心率 \(e=\frac{c}{a}>1\)
\(y^2=2px\)，焦点 \((\frac{p}{2},0)\)，\(e=1\)
到定点(焦点)与定直线(准线)距离比为 e
\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2|\)
曲线+直线→一元二次方程→韦达定理解题
做一件事分多类，类类相加
做一件事分多步，步步相乘
有顺序：\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)
无顺序：\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
\(P(A)=\frac{m}{n}\)，等可能基本事件
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)；对立 \(1-P(A)\)
\(P(AB)=P(A)P(B)\)
\(P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)
X 取各值的概率表
\(X\sim B(n,p),\ P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\)
不放回抽样的概率模型
钟形曲线 \(N(\mu,\sigma^2)\)，对称于 \(x=\mu\)
简单随机、分层抽样、系统抽样
平均数 \(\bar x\)、方差 \(s^2\)、标准差 \(s\)
线性回归、相关系数 \(r\)
加减（平行四边形/三角形法则）、数乘
\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2\)
\(\vec a=(x,y),\ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}\)
平行 \(x_1y_2-x_2y_1=0\)；垂直 \(x_1x_2+y_1y_2=0\)
\(z=a+bi,\ a\) 实部、\(b\) 虚部，\(i^2=-1\)
复平面上的一点 \((a,b)\)
加减实虚分别算；乘除用 \(i^2=-1\) 化简
\(\bar z=a-bi;\ |z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
由特殊到一般（从个例猜规律）
由特殊到特殊（平面→空间）
大前提+小前提 \(\Rightarrow\) 结论
综合法（由因导果）、分析法（执果索因）
先假设结论错，推出矛盾
① 证 \(n=1\) 成立 ② 假设 \(n=k\) 推 \(n=k+1\)