1不定积分：寻找原函数 核心工具
积分计算是后面定积分、微分方程、二重积分的地基。换元与分部是两大支柱。
原函数与基本积分表 必背
💡 秒懂：若 F'=f，则 F 是 f 的原函数；不定积分 ∫f 就是“所有原函数 + C”。
$\int f(x)dx=F(x)+C$，其中 $F'=f$。基本表：$\int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\ne-1),\ \int\frac1x dx=\ln|x|+C,\ \int e^x dx=e^x+C,\ \int\sin x dx=−\cos x+C,\ \int\cos x dx=\sin x+C,\ \int\frac1{1+x^2}dx=\arctan x+C$。
🔑 求导表倒过来背就是积分表。
换元积分法 核心
💡 秒懂：第一类换元（凑微分）：把式子凑成某个函数的微分；第二类换元：用新变量代换（三角代换去根号等）。
第一类：$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$（u=g(x)）。第二类：x=φ(t)，dx=φ'(t)dt，常用于 √(a²−x²)→x=asint，√(a²+x²)→x=atant。
🔑 “凑微分”最关键：看到 dx 想能不能写成 d(某式)。
分部积分法 核心
💡 秒懂：谁先谁后有口诀：“反对幂指三”——反三角、对数优先放前面（u），其余放后面（dv）。
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$。典型：∫xⁿe^x、∫xⁿlnx、∫xⁿsinx、∫e^x sinx（循环型）。
🔑 口诀：反对幂指三，前者作 u。
有理函数与三角积分 重点
💡 秒懂：有理分式先拆成部分分式（像把大块掰小）；三角积分用倍角、万能代换化简。
有理函数：分子分母因式分解后拆成 A/(x-a)+B/(x-a)²+…+(Mx+N)/(x²+px+q)。三角：sin^m cos^n 用倍角或凑微分；万能代换 t=tan(x/2) 可统一化有理式。
⚠️ 数二考得基础，掌握拆项与常见三角积分即可。
例题：求 $\int x e^{x^2} dx$。
凑微分
思路：x dx = ½ d(x²)。
原式=½∫ e^{x²} d(x²)。
=½ e^{x²}+C。
答案：½ e^{x²}+C
例题：求 $\int x e^x dx$。
分部积分
思路：x 作 u，e^x dx 作 dv。
u=x,dv=e^x dx ⇒ du=dx,v=e^x。
∫x e^x dx=x e^x−∫e^x dx=x e^x−e^x+C。
答案：(x−1)e^x+C
2定积分：无限细分求和 核心重点
定积分是“累积量”的精确值。变上限积分求导和牛顿-莱布尼茨公式是必考计算点。
定积分定义与性质 概念
💡 秒懂：把曲线下的面积切成无数细条，求面积和——就是黎曼和取极限。
$\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum f(\xi_i)\Delta x_i$。性质：线性、区间可加、保序（f≥g⇒∫f≥∫g）、中值定理 ∃ξ 使 ∫_a^b f=f(ξ)(b-a)。
🔑 定积分是常数（与积分变量无关：∫_a^b f(x)dx=∫_a^b f(t)dt）。
变上限积分 核心
💡 秒懂：上限是个动点 x，积分值随 x 变化成一个新函数；对它求导，正好得到被积函数（上限代入）。
$\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt \Rightarrow \Phi'(x)=f(x)$。若上限是 g(x)：$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))g'(x)$。
🔑 变上限求导是高频填空/选择：上限代入×上限导数。
牛顿-莱布尼茨公式 核心
💡 秒懂：求定积分不用再切条求和——只要找原函数 F，用 F(b)−F(a) 即可，像坐电梯直达。
若 F'=f，则 $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$。
⚠️ 这是微积分基本定理，连通微分与积分。
对称区间与奇偶 技巧
💡 秒懂：偶函数在对称区间积分=2倍半边；奇函数在对称区间积分=0（白算）。
$\int_{-a}^a f(x)dx=0$（f 奇）；$=2\int_0^a f(x)dx$（f 偶）。
🔑 遇对称区间先判奇偶，省一半计算。
例题：设 F(x)=∫_0^{x²} e^t dt，求 F'(x)。
变上限求导
思路：上限 x²，代入再乘导数。
F'(x)=e^{x²}·(x²)'=e^{x²}·2x。
=2x e^{x²}。
答案：2x e^{x²}
例题：求 $\int_0^1 (2x+1)dx$。
牛顿-莱布尼茨
思路：找原函数。
原函数 F(x)=x²+x。
F(1)−F(0)=(1+1)−0=2。
答案：2
4定积分的几何与物理应用 重点
用微元法求面积、旋转体体积、弧长、功与压力等。数二重计算，微元法是统一思路。
平面图形面积 必考
💡 秒懂：在 x 方向切细条，面积微元 dA=f(x)dx（上下曲线相减）；y 方向同理 dA=[x右−x左]dy。
$A=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx$（f 在上）。极坐标 $A=\frac12\int_a^\beta r^2(\theta)d\theta$。
🔑 先画图定上下/左右，再写微元。
旋转体体积 必考
💡 秒懂：把切片当圆饼（绕 x 轴：半径 f(x)）或圆管（绕 y 轴：柱壳法）。
绕 x 轴：$V=\pi\int_a^b f^2(x)dx$。绕 y 轴（柱壳）：$V=2\pi\int_a^b x f(x)dx$。
🔑 圆盘法记 πR²；柱壳法记 2π·半径·高。
弧长与物理应用 重点
💡 秒懂：把曲线切成小斜线段，长度微元 ds=√(1+y'²)dx。物理上功=力沿路程积分。
弧长 $L=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}dx$。功 $W=\int F(x)dx$；水压力、质心等按微元法设。
⚠️ 弧长公式数二常考，记得开根号。
例题：求曲线 y=x² 与 y=x 围成图形的面积。
面积
思路：先求交点定区间。
交点：x²=x ⇒ x=0,1。在 [0,1] 上 x≥x²。
A=∫_0^1(x−x²)dx=[x²/2−x³/3]_0^1=1/2−1/3=1/6。
答案：1/6
例题：求 y=x² (0≤x≤1) 绕 x 轴旋转体体积。
体积
思路：圆盘法。
V=π∫_0^1 (x²)² dx=π∫_0^1 x⁴ dx。
=π[x⁵/5]_0^1=π/5。
答案：π/5