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第4章 · 多元函数微分学

一元微分的推广 · 二元为主
✅ 范围已核实：本章内容严格限定在考研数学（二）大纲（科目代码 302）范围内，已剔除数二不考内容。满分 150，高数约占 80%，线代约占 20%。
📌 本章在数二中的定位：多元函数概念、二元极限与连续、偏导数与全微分、复合/隐函数求偏导、多元极值（无条件+拉格朗日乘数法）。数二不考：方向导数、梯度、空间解析几何。

🗺️本章知识地图

当自变量不止一个，微积分升级为多元。核心仍是“变化率”，只不过有沿不同方向的偏导，以及条件极值这一大题常客。
多元函数与全微分复合函数与隐函数求偏导多元函数极值与最值

1多元函数与全微分 重点

理解二元函数的极限、连续、偏导、全微分的区别与联系，特别是“偏导存在⇏可微”。

偏导数 定义

💡 秒懂：固定其他变量，只让一个变量变，求出的变化率就是偏导——像只沿 x 或只沿 y 方向看斜率。
$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$，同理 f_y。高阶偏导 $f_{xy},f_{xx}$ 等（混合偏导连续时相等）。
🔑 偏导就是“只对一个变量求导，其余当常数”。

全微分 核心

💡 秒懂：全微分是曲面在一点的最佳切平面近似；偏导存在只是“两个方向有切线”，可微才是“有完整切平面”。
若 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$（ρ=√(Δx²+Δy²)），则 dz=A dx+B dy，且 A=f_x,B=f_y。可微⇒偏导存在；偏导存在+连续⇒可微。
🔑 可微 ⇒ 偏导存在；偏导存在 ⇏ 可微（需验证全增量）！

连续与偏导关系 易错

💡 秒懂：多元里“偏导都存在”比一元更弱：各方向切线在，但整体可能没切平面（像折角）。
可微 ⇒ 连续且偏导存在；连续 ⇏ 偏导存在；偏导存在 ⇏ 连续。
⚠️ 数二常考反例判断这些箭头。
例题：设 z=x²y+3xy³，求 ∂z/∂x, ∂z/∂y。
偏导计算
思路：对一个变量求导，另一个当常数。
∂z/∂x=2xy+3y³。
∂z/∂y=x²+9xy²。
答案：∂z/∂x=2xy+3y³, ∂z/∂y=x²+9xy²

2复合函数与隐函数求偏导 核心重点

多元链导和隐函数偏导是必会计算，常与极值题结合出大题。

复合函数链导 核心

💡 秒懂：一元链导的升级：从 z 到中间变量再到 x，每条路径导数相乘，再“分岔求和”。
若 z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y)，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=f_u u_x+f_v v_x$，对 y 同理。画链式图不漏项。
🔑 链导法则：沿所有路径，每段导数相乘，各路径相加。

隐函数求偏导 重点

💡 秒懂：方程 F(x,y,z)=0 藏着 z=z(x,y)；两边对 x 求偏导，把 z 当 x 的函数即可解出 z_x。
由 F(x,y,z)=0：$z_x=−F_x/F_z,\ z_y=−F_y/F_z$（F_z≠0）。方程组情形用 Jacobi 矩阵。
⚠️ 也可用直接求导法，别死记公式。
例题：设 z=f(u), u=x²+y²，求 ∂z/∂x。
链导
思路：z 经 u 依赖 x。
∂z/∂x=f'(u)·∂u/∂x=f'(x²+y²)·2x。
=2x f'(x²+y²)。
答案：2x f'(x²+y²)
例题：由 x²+y²+z²=1 确定 z=z(x,y)，求 ∂z/∂x。
隐函数
思路：公式法或两边求导。
令 F=x²+y²+z²−1，F_x=2x,F_z=2z。
z_x=−F_x/F_z=−x/z（z≠0）。
答案：−x/z

3多元函数极值与最值 核心重点

无条件极值（驻点+充分条件）与条件极值（拉格朗日乘数法）是数二大题高频点。

无条件极值 核心

💡 秒懂：把一元极值的“驻点+二阶判别”搬到二元：先找偏导都为 0 的点，再用 AC−B² 判别。
驻点：f_x=f_y=0。令 A=f_xx,B=f_xy,C=f_yy。AC−B²>0：A>0 极小，A<0 极大；AC−B²<0 非极值；=0 待定。
🔑 判别口诀：算 A、B、C，看 Δ=AC−B²。

条件极值·拉格朗日乘数法 核心

💡 秒懂：在约束 g(x,y)=0 的“曲线”上找最值，像给函数套上缰绳——乘个 λ 把约束并入目标。
求 L(x,y,λ)=f(x,y)+λ g(x,y)，解方程组 L_x=L_y=L_λ=0，得候选点再比较（实际最值常在边界或候选点取到）。
🔑 拉格朗日：目标+λ·约束，对各自变量和 λ 求偏导置零。

最值应用 重点

💡 秒懂：实际问题是“在允许范围内找最大/最小”，先找内部驻点，再看边界，比较得出。
闭区域上连续函数必有最值：比较驻点、边界点、不可导点处的函数值。
⚠️ 应用题常先列目标函数与约束，再上拉格朗日。
例题：求 f(x,y)=x²+y²−2x−4y 的极值。
无条件极值
思路：找驻点，用 AC−B²。
f_x=2x−2=0⇒x=1；f_y=2y−4=0⇒y=2。驻点(1,2)。
A=2,B=0,C=2，AC−B²=4>0 且 A>0 ⇒ 极小值。
f(1,2)=1+4−2−8=−5。
答案：极小值 −5

✓本章互动小测

做完点“交卷”看解析，错题回上面知识点再巩固。
1. 多元函数中，可微能推出？
解析：可微 ⇒ 连续且偏导存在；但偏导存在推不出可微。
2. 由 F(x,y,z)=0，z_x = ?
解析：隐函数偏导 z_x=−F_x/F_z（F_z≠0）。
3. 无条件极值判别用？
解析：二元极值用 Δ=AC−B² 判别驻点性质。
4. 条件极值 f(x,y) 受 g=0 用？
解析：约束极值用拉格朗日乘数法构造 L=f+λg。
5. 偏导存在但函数在该点？
解析：多元中偏导存在推不出连续（比一元更弱）。
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