极坐标公式 公式
💡 秒懂：把直角网格换成“射线+圆圈”网格，面积小格变成 r dr dθ（多乘个 r）。
$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ d\sigma=r\,dr\,d\theta$。$\iint_D f(x,y)d\sigma=\iint_{D'} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$。
🔑 千万别漏 r！这是极坐标最容易错的地方。
适用区域 技巧
💡 秒懂：见到圆、圆环、扇形、被积含 x²+y²，果断极坐标。
区域边界含 x²+y²、或被积函数为 x²+y²、e^{−(x²+y²)} 等，优先极坐标。
⚠️ 例如高斯型 ∫e^{−x²}dx 在无穷域靠极坐标+二重积分求得。
例题：计算 ∬_D (x²+y²) dσ，D: x²+y²≤a²。
极坐标
思路：圆域用极坐标。
x²+y²=r²，dσ=r dr dθ，D': 0≤r≤a, 0≤θ≤2π。
=∫_0^{2π}dθ∫_0^a r²·r dr=2π·[r⁴/4]_0^a=πa⁴/2。
答案：πa⁴/2