第6章 · 常微分方程 · 考研数学（二）

✅ 范围已核实：本章内容严格限定在考研数学（二）大纲（科目代码 302）范围内，已剔除数二不考内容。满分 150，高数约占 80%，线代约占 20%。

📌 本章在数二中的定位：概念、一阶方程（可分离/齐次/一阶线性）、可降阶高阶、二阶常系数线性（齐次/非齐次待定系数）、几何与物理应用。数二不考：欧拉方程、差分方程、微分方程组。

🗺️本章知识地图

微分方程是“含未知函数导数的等式”，目标是解出函数。它是微积分的落脚点——把变化规律翻译成方程再求解。

微分方程的基本概念一阶微分方程可降阶的高阶方程二阶常系数线性微分方程

1微分方程的基本概念基础

分清阶、解、通解、特解、初值问题，是解题的语言基础。

阶与解定义

💡 秒懂：方程里出现的最高阶导数的阶数就是微分方程的“阶”。把函数代回去恒成立，就是它的解。

n 阶方程含 y^{(n)}。解：代入使等式成立的函数。通解：含 n 个独立任意常数的解。特解：给定条件确定常数后的解。

🔑 阶数 = 最高阶导数阶数 = 通解中任意常数个数。

初值问题概念

💡 秒懂：除了方程，还给定“起点状态”（如 y(0)=1），用来锁定唯一的特解。

如 $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$，求满足条件的特解。

⚠️ 任意常数个数 = 阶数，初值条件个数也要匹配。

例题：验证 y=Ce^x 是 y'=y 的通解。

概念

思路：代入看是否成立并含一个常数。

y'=Ce^x=y，代入方程成立。

含一个任意常数 C，且方程为一阶，故是通解。

答案：验证成立，是通解

2一阶微分方程核心重点

可分离变量、齐次、一阶线性三种解法必会，尤其一阶线性公式法是数二常考。

可分离变量方法

💡 秒懂：把 x 和 y“分居”两边，各自积分即可。

形如 $g(y)dy=h(x)dx$，两边积分得 ∫g(y)dy=∫h(x)dx+C。

🔑 能写成 f(y)dy=g(x)dx 就分离变量。

齐次方程方法

💡 秒懂：形如 y'=φ(y/x)，令 u=y/x 把它变成可分离变量。

$y'=\varphi(y/x)$，令 u=y/x（y=ux, y'=u+xu'）化为可分离。

一阶线性方程核心

💡 秒懂：标准形式 y'+P(x)y=Q(x)，用“积分因子”e^{∫P dx} 两边一乘，左边恰好是乘积的导数。

$y'+P(x)y=Q(x)$ 的通解公式：$y=e^{−\int P dx}\left(\int Q e^{\int P dx}dx+C\right)$。

🔑 背下公式最稳：先算积分因子 μ=e^{∫Pdx}，则 y=(∫Qμ dx+C)/μ。

例题：求 y'−y=e^x。

一阶线性

思路：P=−1,Q=e^x，套公式。

μ=e^{∫−1 dx}=e^{−x}。

y=e^x(∫e^x·e^{−x}dx+C)=e^x(x+C)。

答案：y=e^x(x+C)

例题：求 y'=2xy（可分离）。

分离变量

思路：把 y 与 x 分居。

dy/y=2x dx，积分得 ln|y|=x²+C₁。

y=Ce^{x²}。

答案：y=Ce^{x²}

3可降阶的高阶方程重点

三类缺项高阶方程，用“换元降阶”处理。数二只要求这三种特殊型。

y⁽ⁿ⁾=f(x) 类型

💡 秒懂：最高阶只含 x，连续积分 n 次即可（每次加常数）。

直接逐次积分：$y^{(n-1)}=\int f dx+C_1$，… 直到 y。

y''=f(x,y') 类型

💡 秒懂：不显含 y，令 p=y'，方程降为一阶的 p'=f(x,p)。

令 p=y'，则 y''=p'，化为 p'=f(x,p) 一阶方程。

y''=f(y,y') 类型

💡 秒懂：不显含 x，令 p=y'，把 y'' 换成 p dp/dy，降阶。

令 p=y'，则 $y''=p\frac{dp}{dy}$，化为 $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$。

⚠️ 这型常与质点运动（加速度与位置有关）相关。

例题：解 y''=2x（缺 y,y'）。

逐次积分

思路：连续积分两次。

y'=∫2x dx=x²+C₁。

y=∫(x²+C₁)dx=x³/3+C₁x+C₂。

答案：y=x³/3+C₁x+C₂

4二阶常系数线性微分方程核心重点

齐次通解结构 + 非齐次待定系数法，是数二必会大题解法，常与积分结合。

齐次通解核心

💡 秒懂：特征方程 r²+pr+q=0 的根决定解的形态：两不同实根→e^{r1x},e^{r2x}；重根→e^{rx},xe^{rx}；共轭复根→e^{αx}cosβx,e^{αx}sinβx。

$y''+py'+qy=0$，特征方程 $r²+pr+q=0$。根 r₁≠r₂实：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$；重根 r：$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$；复根 α±iβ：$y=e^{αx}(C_1\cosβx+C_2\sinβx)$。

🔑 看判别式 Δ：>0 两实，=0 重根，<0 振荡。

非齐次·待定系数法核心

💡 秒懂：先求齐次通解 y_h，再猜一个“长得像”自由项 f(x) 的特解 y_p，加起来就是通解。

$y=y_h+y_p$。f(x)=e^{αx}P_m(x)：设 $y_p=x^k e^{αx}Q_m(x)$，k 视 α 是否为特征根取 0/1/2。f(x)=e^{αx}[P\cosβx+Q\sinβx]：设 $y_p=x^k e^{αx}(A\cosβx+B\sinβx)$。

🔑 特解形式跟着 f(x) 走，遇到特征根就乘 x（或 x²）。

应用建模重点

💡 秒懂：几何（斜率、弧长、曲率）、物理（运动、弹簧、衰变）都能翻译成微分方程再解。

例：曲线斜率 y'=f(x,y)、加速度 y''=F/m。列方程→解→用初值定常数。

⚠️ 应用题先把文字翻译成方程，再套解法。

例题：解 y''−3y'+2y=0。

齐次

思路：特征方程求根。

特征方程 r²−3r+2=0 ⇒ (r−1)(r−2)=0，r=1,2。

通解 y=C_1e^x+C_2e^{2x}。

答案：y=C_1e^x+C_2e^{2x}

例题：解 y''−2y'+y=e^x。

非齐次

思路：α=1 是二重特征根，k=2。

齐次特征 r²−2r+1=0 ⇒ r=1(重)，y_h=(C_1+C_2x)e^x。

f=e^{1·x}，α=1 是二重根，设 y_p=Ax²e^x。

代入得 A=1/2，通解 y=(C_1+C_2x+½x²)e^x。

答案：y=(C_1+C_2x+½x²)e^x

✓本章互动小测

做完点“交卷”看解析，错题回上面知识点再巩固。

🗺️本章知识地图

1微分方程的基本概念 基础

阶与解 定义

初值问题 概念

2一阶微分方程 核心重点

可分离变量 方法

齐次方程 方法

一阶线性方程 核心

3可降阶的高阶方程 重点