一、函数 · 极限 · 连续
1. 极限定义与定理
lim f(x) = A ⇔ ∀ε>0, ∃δ>0, 0<|x−x₀|<δ ⇒ |f(x)−A|<ε
唯一性 · 局部有界性 · 保号性：若lim f=A>0，则去心邻域 f>0
夹逼定理：g≤f≤h 且 lim g=lim h=A ⇒ lim f=A
单调有界数列必有极限
2. 两个重要极限 必背
lim(x→0) sin x / x = 1 （推广：sin▢/▢ →1，▢→0）
lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e 即 lim(n→∞) (1+1/n)^n = e
凑形式：lim [1+u(x)]^(1/u(x)) = e（u→0）；lim (1+1/x)^x = e（x→∞）。
3. 等价无穷小（x→0） 必背
sin x ~ x；tan x ~ x；arcsin x ~ x；arctan x ~ x
1 − cos x ~ x²/2；ln(1+x) ~ x；e^x − 1 ~ x
(1+x)^a − 1 ~ a x；a^x − 1 ~ x ln a；x − sin x ~ x³/6
📌 等价代换只限乘/除因子，加减中替换易错（除非高阶可略）。泰勒展开更稳妥。
4. 洛必达 & 泰勒展开
0/0、∞/∞ 型：lim f/g = lim f′/g′（条件满足时反复用）
常用泰勒（x→0）：e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+…
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …；cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − …；(1+x)^a = 1 + a x + a(a−1)x²/2! + …
⚠ 洛必达前先约分/代换化简；∞−∞、0·∞、1^∞、0^0、∞^0 需先化成 0/0 或 ∞/∞（取对数/通分/提因子）。
5. 连续与间断
连续：lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)；左连续 f(x₀⁻)=f(x₀)，右连续 f(x₀⁺)=f(x₀)
第一类间断：可去(左右极限相等)、跳跃(左右极限存在不等)
第二类间断：无穷、振荡（至少一侧极限不存在）
闭区间连续：必有最大值/最小值、介值定理、零点定理（f(a)f(b)<0 ⇒ ∃ξ使f(ξ)=0）。
二、一元函数微分学
1. 导数与微分 必背
f′(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h) − f(x₀)] / h
微分 dy = f′(x) dx；可导 ⇔ 可微；导数几何意义=切线斜率
2. 求导法则
四则：(uv)′=u′v+uv′；(u/v)′=(u′v−uv′)/v²；(cf)′=cf′
复合：dy/dx = dy/du · du/dx（链式法则）
反函数：(f⁻¹)′(y)=1/f′(x)；隐函数：两边对x求导；参数方程 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
对数求导：先取 ln 再求导（幂指、连乘连除）
3. 高阶导数
莱布尼茨：(uv)^(n) = Σ C(n,k) u^(k) v^(n−k)
常见： (e^ax)^(n)=aⁿe^ax；sin^(n)(x)=sin(x+nπ/2)；1/(ax+b) 的 n 阶有公式
4. 中值定理 核心
罗尔：f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=0
拉格朗日：∃ξ∈(a,b), f(b)−f(a) = f′(ξ)(b−a)
柯西：∃ξ, [f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)] = f′(ξ)/g′(ξ)
泰勒（带拉格朗日余项）：f(x)=Σ(k=0..n) f^(k)(x₀)/k! (x−x₀)^k + Rₙ
Rₙ = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! (x−x₀)^(n+1) （ξ在x₀与x间）
📌 证不等式/零点常用拉格朗日或泰勒；x₀常取 0（麦克劳林）或区间中点。
5. 单调 · 极值 · 凹凸 · 渐近
单调：f′>0 增，f′<0 减
极值：f′(x₀)=0（驻点）或不可导点；f″(x₀)>0 极小，<0 极大（第二判别法）
凹凸：f″>0 凹(下凸)，f″<0 凸；拐点f″变号处
渐近线：垂直(x→a极限∞)、水平(lim y=常数)、斜(y=kx+b, k=lim y/x, b=lim(y−kx))
⚠ 驻点不一定是极值点（如 x³ 在0处）。一阶判别法看 f′ 是否变号更通用。
三、一元函数积分学
1. 不定积分
∫ f = F + C，其中 F′ = f
换元：∫ f(φ(t))φ′(t)dt → ∫ f(u)du（凑微分 / 三角代换）
分部：∫ u dv = uv − ∫ v du（指三幂对反，后者作u）
常见套：∫e^ax sin bx dx、有理函数(部分分式)、√(a²−x²)令x=asin t。
2. 定积分与 N-L 公式 必背
∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a) （F为原函数，N-L公式）
线性性、区间可加、|∫f| ≤ ∫|f|；奇偶对称：偶×对称区间=2∫₀^a，奇=0
变限积分求导：d/dx ∫_a^x f(t)dt = f(x)
上/下限含x：d/dx ∫_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b)b′ − f(a)a′
📌 变限积分求导是高频题；被积函数含x时先把x提出积分号或用莱布尼茨公式。
3. 反常积分
无穷限：∫_a^∞ f = lim(t→∞) ∫_a^t f；瑕积分：奇点处取极限
p判别：∫_1^∞ 1/x^p 收敛 ⇔ p>1；∫_0^1 1/x^p 收敛 ⇔ p<1
4. 定积分应用 核心
平面面积：A = ∫_a^b |y₂−y₁| dx 或 ∫ (x右−x左) dy
旋转体体积：V = π ∫_a^b y² dx（绕x轴）；V=2π∫xy dx（绕y轴壳层）
弧长：s = ∫_a^b √(1+y′²) dx（直角）；参数 s=∫√(x′²+y′²)dt
微元法：先写微分 dV、dA、ds，再积分。物理应用：做功、水压力、引力。
四、多元函数微分学（二元）
1. 偏导与全微分
偏导 f_x(x₀,y₀)=lim(h→0)[f(x₀+h,y₀)−f(x₀,y₀)]/h
全微分 dz = f_x dx + f_y dy；可微⇒连续⇒偏导存在（反之不必然）
偏导连续 ⇒ 可微；混合偏导相等条件：f_xy、f_yx 连续则 f_xy=f_yx。
2. 复合与隐函数求导 核心
z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y)：z_x = f_u·u_x + f_v·v_x（链式法则）
隐函数 F(x,y)=0：y′ = −F_x / F_y；F(x,y,z)=0：z_x=−F_x/F_z
⚠ 链式求偏导时别漏中间变量；抽象复合(如 z=f(x²+y²)) 求二阶偏导要再对每项求导。
3. 极值
无条件极值：解 f_x=f_y=0，令 A=f_xx, B=f_xy, C=f_yy
判别：AC−B²>0 且 A>0 极小，A<0 极大；AC−B²<0 非极值；=0 不定
条件极值(拉格朗日)：Φ=f+λφ，解 Φ_x=Φ_y=Φ_λ=0
闭区域最值：内部驻点 + 边界最值比较。实际应用题先列目标函数与约束。
六、常微分方程
1. 一阶方程
可分离：dy/dx = f(x)g(y) ⇒ ∫ dy/g(y) = ∫ f(x)dx
齐次：dy/dx = φ(y/x)，令 u=y/x
一阶线性：y′ + P(x)y = Q(x)
通解：y = e^{−∫Pdx}[ ∫ Q·e^{∫Pdx} dx + C ]
伯努利 y′+P(x)y=Q(x)yⁿ：令 z=y^{1−n} 化线性。
2. 可降阶（高阶）
y″ = f(x) ⇒ 逐次积分
y″ = f(x,y′)：令 p=y′，则 y″=p′
y″ = f(y,y′)：令 p=y′，则 y″=p dp/dy
3. 二阶常系数线性 必背
齐次 y″+py′+qy=0，特征方程 r²+pr+q=0
| 特征根 | 通解形式 |
|---|
| 两不等实根 r₁≠r₂ | y = C₁e^{r₁x}+C₂e^{r₂x} |
| 重根 r₁=r₂=r | y = (C₁+C₂x)e^{rx} |
| 共轭复根 α±βi | y = e^{αx}(C₁cosβx+C₂sinβx) |
4. 非齐次特解形式
f(x)=e^{αx}P_m(x) ⇒ 设 y* = x^k · e^{αx} Q_m(x)
k = 0/1/2 视 α 是否为特征根（非根/单根/重根）
f(x)=e^{αx}[Acosβx+Bsinβx] ⇒ 设 y*=x^k e^{αx}(acosβx+bsinβx)
📌 通解 = 齐次通解 + 一个特解。特解系数用待定系数法代入原方程比较求得。