一、行列式
1. 定义与逆序数
n阶行列式 |A| = Σ (−1)^τ(j₁…jₙ) a_{1j₁}…a_{njₙ}（对全排列求和）
逆序数 τ：排列中前面大、后面小的数对个数；奇排列/偶排列
行列式是 n! 项代数和；交换两行(列)变号；某行全0 ⇒ |A|=0。
2. 行列式性质 必背
- |Aᵀ| = |A|（转置不变）
- 两行(列)互换 ⇒ 变号
- 某行(列)乘 k ⇒ 行列式乘 k；|kA| = kⁿ|A|
- 某行(列)的 k 倍加到另一行(列) ⇒ 值不变
- 两行(列)成比例 ⇒ |A|=0
- 按行(列)拆开：线性性
3. 按行/列展开 & 特殊行列式
展开：|A| = a_{i1}A_{i1}+…+a_{in}A_{in}（A_{ij}=(−1)^{i+j}M_{ij} 代数余子式）
三角/对角：|A| = ∏ a_{ii}（主对角乘积）
范德蒙德：|V| = ∏(xⱼ−xᵢ)（1≤i<j≤n），全为差乘积
某行元素乘另一行代数余子式之和 = 0（异行展开定理）。
4. 乘积与克拉默法则
|AB| = |A|·|B|；|A⁻¹| = 1/|A|；|A*| = |A|^{n−1}
克拉默：Ax=b, |A|≠0 ⇒ xⱼ = |Aⱼ|/|A|（Aⱼ为第j列换b）
二、矩阵
1. 运算与性质
(AB)C=A(BC)；A(B+C)=AB+AC；(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
一般 AB ≠ BA；但 (A±B)²≠A²±2AB+B²（除非可交换）
矩阵乘法：左列数=右行数；幂 A^k、多项式 φ(A)。
2. 逆矩阵 必背
A 可逆 ⇔ |A|≠0（非奇异）⇔ r(A)=n ⇔ 特征值全非零
A⁻¹ = (1/|A|)·A* （A*为伴随矩阵，A*的元素是代数余子式转置）
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹；(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ；(kA)⁻¹ = k⁻¹A⁻¹；(A⁻¹)⁻¹=A
求逆：初等行变换 (A|E) → (E|A⁻¹)；或分块矩阵求逆。
⚠ 伴随矩阵 A* 的 (i,j) 元是 A_{ji}（注意转置位置）。|A*| = |A|^{n−1}。
3. 初等变换与初等矩阵
初等矩阵左乘 ⇒ 行变换；右乘 ⇒ 列变换
E(i,j)：交换i,j行；E(i(k))：第i行乘k；E(i,j(k))：第j行k倍加第i行
可逆矩阵 = 若干初等矩阵乘积；A→B 等价 ⇔ 存在可逆P,Q 使 PAQ=B（同型）。
4. 矩阵的秩 核心
r(A) = 最高阶非零子式阶数 = 行(列)向量组的秩
r(A+B) ≤ r(A)+r(B)；r(AB) ≤ min(r(A),r(B))
r(AᵀA) = r(A)；r(A*)=n(r=n) / 1(r=n−1) / 0(r<n−1)
初等变换不改变秩；求秩用行阶梯形（非零行数）。
三、向量
1. 线性表示与相关性 必背
β 可由 α₁…αₛ 线性表示 ⇔ 非齐次 Ax=β 有解 ⇔ r(α₁…αₛ)=r(α₁…αₛ,β)
α₁…αₛ 线性相关 ⇔ 齐次 Ax=0 有非零解 ⇔ r < s
线性无关 ⇔ 仅零解 ⇔ r = s
部分相关⇒整体相关；整体无关⇒任部分无关。向量个数>维数必相关。
2. 向量组的秩与极大无关组
秩 = 极大线性无关组所含向量个数
等价向量组：可互相线性表示，等价的向量组秩相等
求极大无关组：向量组拼成矩阵，行变换化为阶梯形，主元列对应原向量。
3. 内积与正交
内积 [α,β]=αᵀβ；长度 ||α||=√(αᵀα)；正交 αᵀβ=0
施密特正交化：β₁=α₁, β₂=α₂−(α₂,β₁)/(β₁,β₁)β₁, …（逐个去投影）
正交矩阵 Q：QᵀQ = E（列向量两两单位正交）；|Q|=±1
五、特征值与特征向量 核心
1. 定义与求法 必背
特征方程：|λE − A| = 0（或 |A−λE|=0）⇒ 特征值 λ
特征向量：(λE − A)x = 0 的非零解 x（基础解系）
求法：解特征多项式得 λ，再对每个 λ 解齐次方程组得特征向量。
2. 重要性质
Σλᵢ = tr(A)（迹，主对角和）；∏λᵢ = |A|
A 可逆 ⇔ 所有 λᵢ ≠ 0
Aᵏ 的特征值 λᵏ，对应特征向量相同；f(A) 特征值 f(λ)
不同特征值对应的特征向量 线性无关
3. 相似对角化
相似：P⁻¹AP = Λ（Λ为对角阵）；相似矩阵同特征值、同秩、同行列式、同迹
可对角化 ⇔ 有 n 个线性无关特征向量
充分判别：k重特征值满足 r(λE−A) = n−k ⇒ 可对角化
实对称矩阵 必可正交对角化；不同特征值的特征向量必正交
📌 实对称阵：求全部特征向量→施密特正交化→单位化→拼成Q，使 Q⁻¹AQ=QᵀAQ=Λ。